Pages

About my Blog

This is real. This is me. I'm exactly where I'm supposed to be, now. Gonna let the light, shine on me. Now I've found, who I am? There's no way to hold it in. No more hiding who I wanna be. This is me...

Selasa, 08 November 2011

Exercise 2

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:
1. Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
    invers            : Jika hasil produksi sedikit maka harganya naik.
    konvers         : Jika harga turun maka hasil produksi melimpah.
    kontraposisi  : Jika harga naik maka hasil produksi sedikit.
2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
    invers            : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran menurun.
    konvers         : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
    kontraposisi  : Jika pengangguran menurun maka lapangan pekerjaan banyak.
3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
    invers            : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.
    konvers         : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.
    kontraposisi  : Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.
4. Jika x > 10 maka x2 > 100
    invers            : Jika x ≤ 10 maka x2 ≤ 100
    konvers         : Jika x2 > 100 maka x > 10
    kontraposisi  : Jika x2 ≤ 100 maka x ≤ 10
5. Jika x2 – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
    invers            : Jika x2 – 16 ≠ 0, maka x ≠ 4 dan x ≠ – 4.
    konvers         : Jika x = 4 atau x = – 4, maka x2 – 16 = 0.
    kontraposisi  : Jika x ≠ 4 dan x ≠ – 4, maka x2 – 16 ≠ 0.
6. Jika sin x = 90o – cos x, maka x merupakan sudut lancip.
    invers            : Jika sin x ≠ 90o – cos x, maka x bukan sudut lancip.
    konvers         : Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x = 90o – cos x.
    kontraposisi  : Jika x bukan sudut lancip, maka sin x ≠ 90o – cos x.
7. Jika tan x = –1, maka x = 135o dan x = 315o
    invers            : Jika tan x ≠ – 1, maka x ≠ 135o atau x ≠ 315o
    konvers         : Jika x = 135o dan x = 315o, maka tan x = –1
    kontraposisi  : Jika x ≠ 135o atau x ≠ 315o, maka tan x ≠ – 1

Senin, 24 Oktober 2011

Exercise 1

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:
1. (p q) r
    invers            : ~(p q) ~r ek (~p ~q) ~r
    konvers         : r (p q)
    kontraposisi  : ~r ~(p q) ek ~r (~p ~q)
2. p (q r)
    invers            : ~p ~(q r) ek ~p (~q ~r)
    konvers         : (q r) p
    kontraposisi  : ~(q r) ~p ek (~q ~r) ~p
3. ~p (q ~r)
    invers            : ~(~p) ~(q ~r) ek p (~q r)
    konvers         : (q ~r) ~p
    kontraposisi  : ~(q ~r) ~(~p) ek (~q r) p
4. (p ~q) (q r)
    invers            : ~(p ~q) ~(q r) ek (~p q) (~q ~r)
    konvers         : (q r) (p ~q)  
    kontraposisi  : ~(q r) ~(p ~q) ek (~q ~r) (~p q) 
 5. (~q ~r) (~p q)
    invers            : ~(~q ~r) ~(~p q) ek (q r) (p ~q)
    konvers         : (~p q) (~q ~r)
    kontraposisi  : ~(~p q) ~(~q ~r) ek (p ~q) (q r)
 6. (q ~r) (p r)
    invers            : ~(q ~r) ~(p r) ek (~q r) (~p ~r)
    konvers         : (p r) (q ~r)
    kontraposisi  : ~(p r) ~(q ~r) ek (~p ~r) (~q r)

Exercise

1. The truth table of (X ⇒ Y) ∨ (X ⇒ Z)
X
Y
Z
(X Y)
(X Z)
(X Y)   (X Z)
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

  • Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi q à p disebut konvers
  • Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ p à ~ q disebut invers
  • Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ q à ~ p disebut kontraposisi


Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:

                     konvers    
   p à q                             q à p


invers         kontraposisi           invers

  ~p à ~q                           ~q à ~p
                      konvers


Contoh:
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “

Konvers       : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar
Invers           : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi : Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Soal:
Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
1.  Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-siku
2.  Jika  x = 3 maka  =  9

PENGERTIAN KUANTOR
Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.
Kuantor dibedakan atas:
1.  Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “
2.  Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “  “

Contoh:
Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S )
atau x, x + 3 > 5 ( B )

Jika x Î bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini!
1.  ( x) ( y ) ( x + 2y = 7 )
2.  ( x) ( y) (x + 2y = x)
3.  ( x) ( y) ( x > y )
4.  ( x) ( y) ( x.y = 1 )

PERNYATAAN BERKUANTOR
Contoh pernyataan berkuantor: 
  1. Semua manusia fana
  2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
  3. Ada bunga mawar yang berwarna merah
  4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan  “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) à F(x)

Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!
1.  Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )
2.  Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )
3.  Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )
4.  Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )


NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.


Contoh:
Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah
“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “
Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:
x, M(x) à , negasinya  x, M(x) Ù T(x)


Soal:
Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!

Aturan Penyimpulan

1.  Modus Ponens (MP)
     p q
     p  / ∴  q

2.  Modus Tolens (MT)
    p q
    ~q / p

3.  Hypothetical Syllogisme (HS)
    p q
    q r / p r

4.  Disjunctive Syllogisme (DS)
       p v q
    ~ p / ∴  q

5.  Constructive Dillema (CD)
     ( p q )   ( r s )
       p v r / q v s
6.  Destructive Dillema (DD)
    ( p q ) ( r s )
     ~ q v ~ s / ~p v ~r

7. Conjunction (Conj)
    p
    q / p q

8.  Simplification (Simpl)
     p q
     p

9.  Addition ( Add)
    p
    p v q

Bukti Keabsahan Argumen

Dapat melalui :
1. Tabel Kebenaran
2. Aturan Penyimpulan

Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh :

Buktikan keabsahan argumen

1.  1. p q

2.  ~ q / ~p



2.  1. a b

    2. c d

3.  ( ~b v ~d )   ( ~a v ~b )/ ~a v ~c







Bukti:

Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran


   p    q   ~p   ~q   p q   [( p q)  ~q]   [(p q) ~q] ~p

---------------------------------------------------------------------------

  B    B    S    S       B                  S                          B

  B    S    S    B       S                  S                          B

  S    B    B    S       B                  S                          B

  S    S    B    B       B                  B                          B  





Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah



Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan



    1. a b

    2. c d

3.  ( ~b v ~d )  ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

4.  ( a b )  ( c d )   1,2 Conj

5.  ( ~b v ~d )                   3, Simpl

6.  ~ a v ~c                      4,5 DD

Argumen

Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. 
 Contoh:

1.  p q

2.  p / q



1.  ( p q ) ( r s )

2.  ~ q v ~ s / ~ p v ~ r



1.  p

2.  q /  q