Matematika Kelas XI | Pengertian dan Persamaan Lingkaran

Coba sekali-kali pas kamu lagi bantu-bantu cuci motor atau mobil, perhatikan bagian rodanya deh. Kalau di mobil tuh, bagian tengah-tengah velg (logam/kaleng yang terpasang pada ban) biasanya ada logo perusahaan yang membuat mobil tersebut. Kalau kamu perhatikan, titik tengah dari logo tersebut pasti memiliki jarak yang sama jika ditarik ke sisi-sisi lingkaran.

Titik yang dimaksud dari pengertian tersebut ialah pusat lingkaran dan jarak yang dimaksud adalah jari-jari.

Setelah tahu pengertian lingkaran, berikut dijelaskan mengenai persamaan dan unsur lingkaran. Ada dua hal penting yang harus kamu pahami di persamaan lingkaran, yakni jari-jari dan pusat lingkaran.

Ada pun kaidahnya seperti berikut:

Jika pusatnya (0,0) dan jari-jari itu r, maka bentuk persamaannya x² + y² = r²

Jika pusatnya (a,b) dan jari-jari itu r, maka bentuk persamaannya (x - a)² + (y - b)² = r²

Kalau menentukan persamaan dan pusat lingkaran itu bisa menggunakan dua pilihan cara.

Pertama, jika persamaannya itu (x - a)² + (y - b)² = r² , maka pusatnya (a, b) dan jari-jarinya r.

Kedua, jika persamaannya itu x² + y² + Ax + Bx + C = 0 , maka pusatnya

dan jari-jarinya 

Biar makin paham nih dengan materinya, kita latihan soal dulu yuk.

Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah…

A. x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

B. x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0

C. x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

D. x² + y² + 4x + 6y + 3 = 0

E. x² + y² + 4x - 6y + 3 = 0

Jawaban : A

Pembahasan :

Karena d = 8 berarti r = 8/2 = 4, sehiingga persamaan lingkaran yang terbentuk adalah

(x - 2)² + (y - 3)² = 42

x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0 

Exercise 2

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:

1. Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.

    invers            : Jika hasil produksi sedikit maka harganya naik.

    konvers         : Jika harga turun maka hasil produksi melimpah.

    kontraposisi  : Jika harga naik maka hasil produksi sedikit.

2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.

    invers            : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran menurun.

    konvers         : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

    kontraposisi  : Jika pengangguran menurun maka lapangan pekerjaan banyak.

3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.

    invers            : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.

    konvers         : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.

    kontraposisi  : Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.

4. Jika x > 10 maka x² > 100

    invers            : Jika x ≤ 10 maka x² ≤ 100

    konvers         : Jika x² > 100 maka x > 10

    kontraposisi  : Jika x² ≤ 100 maka x ≤ 10

5. Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.

    invers            : Jika x² – 16 ≠ 0, maka x ≠ 4 dan x ≠ – 4.

    konvers         : Jika x = 4 atau x = – 4, maka x² – 16 = 0.

    kontraposisi  : Jika x ≠ 4 dan x ≠ – 4, maka x² – 16 ≠ 0.

6. Jika sin x = 90^o – cos x, maka x merupakan sudut lancip.

    invers            : Jika sin x ≠ 90^o – cos x, maka x bukan sudut lancip.

    konvers         : Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x = 90^o – cos x.

    kontraposisi  : Jika x bukan sudut lancip, maka sin x ≠ 90^o – cos x.

7. Jika tan x = –1, maka x = 135^o dan x = 315^o

    invers            : Jika tan x ≠ – 1, maka x ≠ 135^o atau x ≠ 315^o

    konvers         : Jika x = 135^o dan x = 315^o, maka tan x = –1

    kontraposisi  : Jika x ≠ 135^o atau x ≠ 315^o, maka tan x ≠ – 1

Exercise 1

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:

1. (p ∧ q) ⇒ r

    invers            : ~(p ∧ q) ⇒ ~r ek (~p ∨ ~q) ⇒ ~r

    konvers         : r ⇒ (p ∧ q)

    kontraposisi  : ~r ⇒ ~(p ∧ q) ek ~r ⇒ (~p ∨ ~q)

2. p ⇒ (q ∧ r)

    invers            : ~p ⇒ ~(q ∧ r) ek ~p ⇒ (~q ∨ ~r)

    konvers         : (q ∧ r) ⇒ p

    kontraposisi  : ~(q ∧ r) ⇒ ~p ek (~q ∨ ~r) ⇒ ~p

3. ~p ⇒ (q ∧ ~r)

    invers            : ~(~p) ⇒ ~(q ∧ ~r) ek p ⇒ (~q ∨ r)

    konvers         : (q ∧ ~r) ⇒ ~p

    kontraposisi  : ~(q ∧ ~r) ⇒ ~(~p) ek (~q ∨ r) ⇒ p

4. (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)

    invers            : ~(p ∨ ~q) ⇒ ~(q ∧ r) ek (~p ∧ q) ⇒ (~q ∨ ~r)

    konvers         : (q ∧ r) ⇒ (p ∨ ~q)  

    kontraposisi  : ~(q ∧ r) ⇒ ~(p ∨ ~q) ek (~q ∨ ~r) (~p ∧ q) 

 5. (~q ∧ ~r) ⇒ (~p ∨ q)

    invers            : ~(~q ∧ ~r) ⇒ ~(~p ∨ q) ek (q ∨ r) ⇒ (p ∧ ~q)

    konvers         : (~p ∨ q) ⇒ (~q ∧ ~r)

    kontraposisi  : ~(~p ∨ q) ⇒ ~(~q ∧ ~r) ek (p ∧ ~q) ⇒ (q ∨ r)

 6. (q ∨ ~r) ⇒ (p ∧ r)

    invers            : ~(q ∨ ~r) ⇒ ~(p ∧ r) ek (~q ∧ r) ⇒ (~p ∨ ~r)

    konvers         : (p ∧ r) ⇒ (q ∨ ~r)

    kontraposisi  : ~(p ∧ r) ⇒ ~(q ∨ ~r) ek (~p ∨ ~r) ⇒ (~q ∧ r)

Exercise

1. The truth table of (X ⇒ Y) ∨ (X ⇒ Z)

X	Y	Z	(X ⇒ Y)	(X ⇒ Z)	(X ⇒ Y) ∨  (X ⇒ Z)
T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	T
T	F	T	F	T	T
T	F	F	F	F	F
F	T	T	T	T	T
F	T	F	T	T	T
F	F	T	T	T	T
F	F	F	T	T	T

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

• Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi q à p disebut konvers
• Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ p à ~ q disebut invers
• Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ q à ~ p disebut kontraposisi

Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:

                     konvers    

   p à q                             q à p

invers         kontraposisi           invers

  ~p à ~q                           ~q à ~p

                      konvers

Contoh:

Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “

Konvers       : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar

Invers           : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah

Kontraposisi : Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Soal:

Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

1.  Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-siku

2.  Jika  x = 3 maka  =  9

PENGERTIAN KUANTOR

Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.

Kuantor dibedakan atas:

1.  Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “ ”

2.  Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “  “

Contoh:

Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5

Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S )

atau x, x + 3 > 5 ( B )

Jika x Î bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini!

1.  ( x) ( y ) ( x + 2y = 7 )

2.  ( x) ( y) (x + 2y = x)

3.  ( x) ( y) ( x > y )

4.  ( x) ( y) ( x.y = 1 )

PERNYATAAN BERKUANTOR

Contoh pernyataan berkuantor: 

1. Semua manusia fana
2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
3. Ada bunga mawar yang berwarna merah
4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter

Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan  “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) à F(x)

Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!

1.  Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )

2.  Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )

3.  Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )

4.  Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.

Contoh:

Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah

“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “

Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:

x, M(x) à , negasinya  x, M(x) Ù T(x)

Soal:

Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!

Aturan Penyimpulan

1.  Modus Ponens (MP)

     p → q

     p  / ∴  q

2.  Modus Tolens (MT)

    p → q

    ~q / ∴ p

3.  Hypothetical Syllogisme (HS)

    p → q

    q → r / ∴ p → r

4.  Disjunctive Syllogisme (DS)

       p v q

    ~ p / ∴  q

5.  Constructive Dillema (CD)

     ( p → q ) ∧  ( r → s )

       p v r / ∴ q v s

6.  Destructive Dillema (DD)

    ( p → q ) ∧ ( r → s )

     ~ q v ~ s / ∴ ~p v ~r

7. Conjunction (Conj)

    p

    q / ∴ p ∧ q

8.  Simplification (Simpl)

     p ∧ q

     ∴ p

9.  Addition ( Add)

    p

    ∴ p v q

Bukti Keabsahan Argumen

Dapat melalui :
1. Tabel Kebenaran
2. Aturan Penyimpulan

Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh :

Buktikan keabsahan argumen

1.  1. p → q

2.  ~ q / ∴ ~p

2.  1. a → b

    2. c → d

3.  ( ~b v ~d ) ∧  ( ~a v ~b )/ ∴ ~a v ~c

Bukti:

Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran

   p    q   ~p   ~q   p → q   [( p → q)  ∧ ~q]   [(p → q) ∧ ~q] → ~p

---------------------------------------------------------------------------

  B    B    S    S       B                  S                          B

  B    S    S    B       S                  S                          B

  S    B    B    S       B                  S                          B

  S    S    B    B       B                  B                          B  

Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah

Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan

    1. a → b

    2. c → d

3.  ( ~b v ~d )  ∧ ( ~a v ~b )/ ∴ ~a v ~c

4.  ( a → b )  ∧ ( c → d )   1,2 Conj

5.  ( ~b v ~d )                   3, Simpl

6.  ~ a v ~c                      4,5 DD